5522. Submitted on 2016/4/22, 1.25 h by :
† O(+>
Doe eens gek.
Doe eens gek.
3 × 3 is een hyperbewerking van optellen: 3 + 3 + 3
33 is een hyperbewerking van vermenigvuldigen, 3 × 3 × 3
33 is een hyperbewerking van machtsverheffen, 33³
33 is een hyperbewerking van tetreren, ³33
… etc.
Een hoop gedoe. Waar zetten we de volgende reeks getalletjes neer? Met pijltjes is deze notatie simpeler…
33 = 3↑13
33 = 3↑23
33 = 3↑33
Sommige wiskundigen vonden de volgende notatie van wiskundige bewerkingen wat ASCII-vriendelijker:
33 = 3↑13 = 3[1]3
33 = 3↑23 = 3[2]3
33 = 3↑33 = 3[3]3
Die getallen worden best snel groot, maar het kan natuurlijk sneller. Door 3[3]3 als een element te beschouwen die je iteratief in een nieuw blok met rechte haken zet, en opnieuw, en opnieuw…
3↑33 = 3[3]3
3↑[3↑³3]3 = 3[3[3]3]3
3[3[3[3]3]3]3
3[3[3[3[3]3]3]3]3
Voel je'm? 'Knuth's arrow up notation on crack'. Maar ook hier beginnen we ruimtegebrek te krijgen, qua schrijven. Ook dat kan korter. Conway heeft een manier:
3[3]3 = 3→3→3→1
3[3[3]3]3 = 3→3→3→2
3[3[3[3]3]3]3 = 3→3→3→3
3[3[3[3[3]3]3]3]3 = 3→3→3→4
Graham's nummer zit nog maar in die tweede orde van hyperbewerkingen, oftewel hyperhyperbewerking,
G64 = een schamele 3→3→64→2
3→3→3→3, de derde orde van hyperbewerkingen, hyperhyperhyperbewerkingen is alweer schandelijk veel groter.
Toch begint het bij de hyperhyperhyperhyperbewerkingen alweer te jeuken…
3→3→3→4
We willen meer dan megalomaan. Steeds maar weer. Albert Speer in elke kubieke Planck-lengte in alle multiversa die er in de Theory of M maar te bedenken zijn. (Onee, laat maar zitten, véél te klein voorbeeld. Nietig klein.)
En dus gaan we monstreus, multidimensionale iteraties van multidimensionale iteraties…
3→3→3→3
3→3→3→3→3
3→3→3→3→3→3
Dit soort getallen hebben geen namen meer, maar het begint qua notatie alwéér te vervelen. Na Conway's notation heeft nog niemand wat verzonnen dat nóg explosiever toeneemt. Volgens mij hadden ze de dubbele rechte haakjes nog niet geclaimed…
3→3 = 3[[2]]3
3→3→3 = 3[[3]]3
3→3→3→3 = 3[[4]]3
En dan iteratief…
3[[3]]3
3[[3[[3]]3]]3
3[[3[[3[[3]]3]]3]]3
Waarbij volgens mij de dubbele pijltjes nog beschikbaar zijn…
3[[3]]3 = 3→→3→→3→→2
3[[3[[3]]3]]3 = 3→→3→→3→→3
3[[3[[3[[3]]3]]3]]3 = 3→→3→→3→→4
En daarvan natuurlijk de monstreushypermultidimensionale iteraties van de monstreushypermultidimensionale iteraties
3→→3→→3→→3
3→→3→→3→→3→→3
3→→3→→3→→3→→3→→3
Hee, zien jullie ook een patroon? Volgens mij betreden we met de 3[n3]n3 en 3→n3 een geheel nieuw domein van weerzinwekkend wanstaltig walgelijke toename van getallenreeksen.
Goedemorgen. Om maar meteen even met de deur in huis te vallen: weten jullie nog, hexatie, die in de pijltjesomhoognotatie van Knuth aangeduid wordt met 3↑43*?
De uitkomst daarvan noemde ik OMGWTFBBQ! Welnu, meneer Graham noemde dat G1. En de '-aties', afgeleid van 'iteraties', gingen hem dus niet snel genoeg. Als je megalomaan bent, wees het dan met stijl, dacht hij. En hij deed doodleuk het volgende:
3↑43 = G0
3↑G03 = G1
… etc.
Om te eindigen met:
3↑G633 = G64 (Het getal van Graham)
Leek me wel vermeldenswaardig, zo op de vroege ochtend.
De vorige nerdpost ging misschien iets te hard van stapel. Daarom gaat het hier wat langzamer. Oftewel, ik neem eens het getal 2 in plaats van het getal drie. En laat daar alle rekenkundige bewerkingen op los die algemeen bekend zijn.
2 + 2 = 4 (optellen)
2 × 2 = 4 (vermenigvuldigen)
22 = 4 (machtsverheffen)
22 = 4 (tetratie)
Owachtstop, ik ga al te ver. Ten eerste krijgen we steeds hetzelfde antwoord en ten tweede, what the fuck is tetratie? Als we ten eerste een 3 nemen i.p.v. een 2, dan wordt de betekenis van alle bewerkingen, inclusief tetratie ook meteen veel duidelijker.
3 + 3 = 6 (optellen)
3 × 3 = 3 + 3 + 3 = 9 (vermenigvuldigen)
33 = 3 × 3 × 3 = 27 (machtsverheffen)
33 = 33³ = 7.625.597.484.987 (tetratie)
Waarschijnlijk kun je hier al zien waarom het 'tetratie' heet. Het is het vierde bewerkings-niveau na optellen, vermenigvuldigen en machtsverheffen.
En dan is er natuurlijk pentatie, een bewerking die in het Nederlands niet meer in het woordenboek genoemd wordt.
33 = ³33 = die OMG! van gisteren.
Na pentatie hebben we het getal 3 alle hoeken van de kamer laten zien, qua notatie, behalve misschien 33, maar die plek was in de wiskunde al bezet voor andere doeleinden. Hexatie moet dus op een andere manier opgeschreven worden.
De pijltjes van Knuth zijn een geaccepteerde methode in de wiskunde van de grote getallen, als we niet teveel bewerkingen gebruiken, want anders blijf je pijltjes omhoog tekenen. Om diezelfde reden hebben optellen en vermenigvuldigen geen pijltje, maar begint het pas bij machtsverheffen.
3↑3 = 3 × 3 × 3 = 27 (machtsverheffen)
3↑↑3 = 33³ = 7.625.597.484.987 (tetratie)
3↑↑↑3 = ³33 = OMG! (pentatie)
3↑↑↑↑3 = ₃33 = OMGWTFBBQ! (hexatie)
Bij 3↑↑↑↑3 begint het alweer een beetje te gortig te worden, qua schrijfkramp. Wiskundigen schrijven daarom ook wel 3↑43 voor hexatie.
Schaamt u uzelf er niet voor om even een aspirinepauze in te lassen.
Je ziet de V-vormige boeggolven
![[image]](http://i.imgur.com/RwZTpr4.jpg?1)
Knuth's omhoogpijltjesnotatie:
3↑3 = 3^3 = 3×3×3 = 27
3↑↑3 = 3↑(3↑3) = 3^(3^3) = 3^27 = 7,6-biljoen
3↑↑↑3 = 3↑↑(3↑↑3) = 3↑↑7,6-biljoen = 3^(3^(3^…)), een machtsverheffingstorentje van 7,6-biljoen 3-en hoog. Noem de uitkomst 'OMG!'.
3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3) = 3↑↑↑OMG! = 3↑↑(3↑↑(3↑↑(3↑↑…))), een rijtje van OMG! 3↑↑-en. Elke element is een machtsverheffingstorentje van 3-en, en de hoogte van het torentje is steeds de uitkomst van het getal tussen haakjes daarbinnen. Machtsverheffingstorentjes van machtsverheffingstorentjes van machtsverheffingstorentjes, OMG! van die torentjes waarvan de grootte steeds groter wordt. Noem de uitkomst 'G1'.
3↑↑↑↑3 kan ook geschreven worden volgens de Conway-notatie, 3→3→4.
Stel je een getal voor, 3→3→G1, een 3 en een 3 met een G1 aantal van Knuth's omhoogpijltjes ertussen. Noem de uitkomst daarvan G2.
3→3→G2 = G3
…
3→3→G63 = Graham's Number
![[image]](http://cdn.instructables.com/FT5/GF93/I70AWRQO/FT5GF93I70AWRQO.MEDIUM.gif)
Korte samenvatting: NASA gaat een soort pocket cinemacamera's lanceren, waaraan een paraplu zit, die ze met lasers vooruit kunnen duwen. Die kleine ruimteschepen zeilen dan met een geweldige snelheid, zo'n 100 miljoen kilometer per uur. linkdumpraketje
![[image]](http://image.tmdb.org/t/p/w342/vyxjUiAKVMLaK7PbtRwJPvHMFEo.jpg)
Batterijtjes voor videocamera's kunnen heel duur zijn. Jasper kan dat vast beamen.
Maar eigenlijk zijn ze gewoon heel goedkoop.
![[image]](http://i.imgur.com/aiG6JWP.jpg?1)
Mijn hond, links, vond het maar niets, die verjaardagshoedjes. (2e van links, zonder hoedje, is de moeder, rechts enkele van de zusjes die meer op hun vader lijken)